二进制编码

众所周知，现代计算机都是用 0 和 1 组成的二进制来表示所有的信息，因此二进制的重要性不言而喻。无论是十进制还是二进制，它们的区别并不大。十进制是逢十进一，用 0 ~ 9 这是十个数字来表示；而二进制则是逢二进一，用 0 和 1 这两个数字表示。

十进制整数的二进制表示

任何一个十进制的整数通过短除法可以转换为二进制表示。短除法过程：

1. 把十进制的数除以 2 的余数，作为最右边的一位。
2. 用商继续除以 2，把对应的余数紧靠刚才余数的右侧，如此递归，直到商为 0 即可。

以 13 这个数举例，来看一下如何通过短除法来转换成二进制数：

最终得到十进制数 13 对应的二进制数 1101。

原码表示

前面举的例子是整数的，如果是负数应该如何表示？假设最左侧的一位对应正负号，0 为正数，1 为负数。那么一个 4 为的二进制数 0011 表示 +3，而 1011 则表示 -3，这就是整数的原码表示法。

补码表示

原码表示有一个问题，就是 0 可以用两个不同的编码来表示，1000 表示 0，而 0000 也代表 0。而使用补码来表示的话，可以解决这个问题。

补码的概念：

1. 正数的补码与原码本身相同。以十进制数 3 举例，它的二进制表示为 0011，它的补码也是 0011。
2. 零的补码也与本身相同，即 0000。
3. 负数的补码是它正数形式的二进制表示取反后加 1。以十进制数 -3 举例，它正数形式的二进制为 0011，取反之后得到 1100，再加 1 变成 1101。

使用补码来表示的时候，我们仍然通过最左侧第一位的 0 和 1 来判断这个数的正负，但是不再把这一位当做单独的符号。当在做计算的时候，如果最左侧第一位为 1 的时候，则在左侧最高位前面加个负号。

以四位二进 1101 制表示 -3：

$$-1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=-3$$

经过前面的了解，我们知道通过原码跟补码进行表示的区别。通过补码表示，四位二进制可以表示 -8~7 这 16 个正数，并不会有原码有两个二进制数表示 0 的问题。

补码除了解决原码会有两个数表示 0 的问题之外，还使得整数相加变得很容易，不需要做任何特殊处理，只要把它当成普通的二进制相加就能得到正确的结果。

参考资料

• 11 | 二进制编码：“手持两把锟斤拷，口中疾呼烫烫烫”？